A igualdade (8)
,
vista há pouco, nos dá uma demonstração e, ao mesmo tempo, uma reformulação da Regra de Cramer. O ponto de partida é o sistema
tal como anteriormente. Se multiplicarmos à esquerda os dois membros por 
e usarmos a igualdade (8), teremos
ou
Agora, basta um pequeno instante de reflexão para perceber que o sistema (9) é o mesmo sistema (7) que discutimos antes. A única diferença é que os determinantes de Cramer
do sistema (7) aparecem em (9) desenvolvidos em relação aos cofatores da coluna 
. Mais precisamente,
.
Se 
, então podemos concluir de (9) que
Eis aí, em essência, a “Regra de Cramer”.
A vantagem de (9) é que ela nos permite ver mais claramente onde está o erro da condição (T2) do nosso equivocado teste. Pelo fato de termos obtido o sistema (9) multiplicando o sistema
pela matriz 
, fica evidente que esses sistemas não são, em geral, equivalentes (a menos que a adjunta seja inversível). Em particular, vejamos novamente o que acontece quando
Isto é o mesmo que dizer que
Neste caso, portanto, vamos do sistema
ao sistema 
(onde 
é a matriz nula). A multiplicação pela adjunta de 
, neste caso, “destrói” completamente o sistema original! Claramente, o sistema
possui infinitas soluções, mas daqui não se pode concluir o mesmo quanto a
.
Exercício 2
Mostre que os sistemas
e (9) são equivalentes quando 
.