Assim, de uma permutação dos algarismos de N, resulta um inteiro N' que, em notação decimal, se escreve
,
ou seja,
e
Assim, de uma permutação dos algarismos de N, resulta um inteiro N' que, em notação decimal, se escreve
,
ou seja,
e
Conforme sabemos agora, existe uma bijeção 
(não necessariamente única) tal que
.
Para provar que 
é múltiplo de 9, apostamos no fato de que cada termo do polinômio decimal de
possui exatamente um correspondente no de N com o mesmo coeficiente. Isto é intuitivamente óbvio, mas queremos ver isso claramente a partir das igualdades
e
.
Como fazê-lo? O nosso autor dá a entender, e sem nenhuma justificação, que
(
) 
.
Observe como o sinal 
sai dos índices do primeiro membro para reaparecer nos expoentes do segundo. Conforme já apontamos, se a igualdade () fosse verdadeira, estaria encerrada a demonstração.
Acontece que a igualdade () é falsa. (Este seria um "erro no algoritmo".) O resultado correto é:
(
) 
.
Ou seja: a função
desaparece dos índices do primeiro membro para reaparecer invertida nos expoentes do segundo. Isto pode ser provado de maneira puramente simbólica numa única linha, por substituição de variáveis em somatórios — um tema abordado na seção Conceitos Fundamentais deste site. Para ver uma prova informal e verborrágica, mas perfeitamente válida, clique
AQUI.
Feita a correção da igualdade (
), a prova continua como antes:
é uma soma de termos da forma 
, etc.
Carlos César de Araújo, 25 de agosto de 2003