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Erro 2

Representaremos por .

Discussão

Por que o autor passa a substituir © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César por © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César? Na matemática, simplificações de escrita conduzem invariavelmente a abusos de notação. O propósito, via de regra, é o de abandonar uma notação ultraprecisa — exigida por uma formalização do cenário — em favor de expressões mais "tradicionais".

Exemplo 2

Numa formalização possível (e correta) do nosso cenário, poderíamos proceder da seguinte maneira. Definiríamos "numeral decimal" como sendo uma função

© 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César,

o que nos forçaria a escrever expressões como

© 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César.

Em seguida, voltaríamos à costumeira notação indicial dizendo: "no que se segue, representaremos © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César por © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César".

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No caso do nosso artigo, não podemos imitar o Exemplo 2 e representar © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César por © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César. Pois, nesse contexto, os sinais que compõem a expressão

© 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César

têm as seguintes interpretações:

(1) A letra "i" denota uma variável em © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César, cujos valores dependem de n.
(2) Os © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César designam os algarismos decimais de um número © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César ;
(3) A letra "© 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César" se refere a uma função com domínio © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César, que é um subconjunto de © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César.

Decorre de (1) e (3) que não faz sentido identificar © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César com © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César. Por exemplo, se © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César, temos © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César, mas a expressão © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César não está definida para © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César. O domínio de © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César é sempre um conjunto de algarismos decimais, logo © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César nunca pode ser aplicada a números além de 9.

Na verdade, o autor estava de posse da idéia correta desde o começo, mas não a expressou de maneira precisa. Eis o que ele tinha em mente: os números que se obtêm de © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César por permutações (da seqüência) dos algarismos são todos da forma

© 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César,

onde © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César é uma permutação de © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César. Contudo, em vez de seguir este plano desde o começo, o autor definiu © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César como uma permutação de © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César e cometeu o equívoco de identificar © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César com © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César.

Exemplo 3

Retomemos o caso do Exemplo 1, onde © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César. Vimos que existem 6 números derivados de N por uma permutação dos algarismos. Afirmamos agora que todos esses números são da forma

© 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César,

onde © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César é uma bijeção — isto é, © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César é uma permutação de © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César. Podemos comprovar este fato construindo efetivamente todas as © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César bijeções © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César possíveis. Observe: temos 24 bijeções © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César, mas apenas 6 numerais © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César distintos. Isto acontece porque © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César tem algarismos repetidos. Contudo, o importante é termos certeza de que todas as permutações de 8899 provêm de bijeções © 2002-2003, Matemática Para Gregos & Troianos - Carlos César.

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Carlos César de Araújo, 25 de agosto de 2003