Representaremos 
por 
.
Representaremos por .
Por que o autor passa a substituir 
por 
?
Na matemática, simplificações de escrita conduzem invariavelmente a abusos de notação. O propósito, via de regra, é o de abandonar uma notação ultraprecisa — exigida por uma formalização do cenário — em favor de expressões mais "tradicionais".
Numa formalização possível (e correta) do nosso cenário, poderíamos proceder da seguinte maneira. Definiríamos "numeral decimal" como sendo uma função
,
o que nos forçaria a escrever expressões como
.
Em seguida, voltaríamos à costumeira notação indicial dizendo: "no que se segue, representaremos 
por
".
No caso do nosso artigo, não podemos imitar o Exemplo 2 e representar
por . Pois, nesse contexto, os sinais que compõem a expressão
têm as seguintes interpretações:
(1) A letra "i" denota uma variável em 
, cujos valores dependem de n.
(2) Os
designam os algarismos decimais de um número 
;
(3) A letra "
" se refere a uma função com domínio
, que é um subconjunto de
.
Decorre de (1) e (3) que não faz sentido identificar
com . Por exemplo, se 
, temos 
, mas a expressão 
não está definida para 
. O domínio de 
é sempre um conjunto de algarismos decimais, logo
nunca pode ser aplicada a números além de 9.
Na verdade, o autor estava de posse da idéia correta desde o começo, mas
não a expressou de maneira precisa. Eis o que ele tinha em mente: os números que se obtêm de 
por permutações (da seqüência) dos algarismos são todos da forma
,
onde
é uma permutação de 
.
Contudo, em vez de seguir este plano desde o começo, o autor definiu
como uma permutação de
e cometeu o equívoco de identificar
com .
Retomemos o caso do Exemplo 1, onde 
. Vimos que existem 6 números derivados de N por uma permutação dos algarismos. Afirmamos agora que todos esses números são da forma
,
onde 
é uma bijeção — isto é,
é uma permutação de 
. Podemos comprovar este fato construindo efetivamente todas as 
bijeções
possíveis. Observe: temos 24 bijeções , mas apenas 6 numerais
distintos. Isto acontece porque 
tem algarismos repetidos. Contudo, o importante é termos certeza de que todas as permutações de 8899 provêm de bijeções
.
Carlos César de Araújo, 25 de agosto de 2003