qualquer;(2) um número N qualquer com n algarismos;
(3) um número
que só difere de N por uma permutação qualquer dos algarismos.
O caso particular visto na página anterior contém a essência do argumento. Se nos derem um numeral com uma quantidade definida de algarismos, e uma permutação particular dos mesmos, saberemos repetir o raciocínio. As dificuldades aparecem quando tentamos implementar o procedimento de maneira geral, pois o ato de generalizar normalmente envolve abstrações e requer maior precisão conceitual. No nosso caso, devemos começar com:
(1) um número natural qualquer;
(2) um número N qualquer com n algarismos;
(3) um número que só difere de N por uma permutação qualquer dos algarismos.
Esses são os nossos dados de entrada. Armado o cenário, devemos provar que
(4) 
é um múltiplo de 9.
É justamente a "montagem do cenário", a estruturação dos dados, que coloca dificuldades. Vejamos o item (2). Admitiremos que o leitor aceita como "natural" que nos refiramos aos algarismos de um número "qualquer" por meio de uma seqüência indexada por inteiros não-negativos. Assim, podemos escrever
"
, com 
e 
"
para comunicar a idéia de que N é um número cujos algarismos decimais são 
. (Veja o Capítulo VII do CD Números.)
O problema surge com o item (3). Precisamos de uma tradução sucinta e manejável da relação
"os algarismos de
são uma permutação dos algarismos de 
".
Um primeiro passo consiste em definir (ou "modelar") permutações como certas funções bijetoras, conforme fez o nosso autor. Lamentavelmente, ele se equivocaria nos passos seguintes.
Carlos César de Araújo, 25 de agosto de 2003