(...)Uma permutação sobre um conjunto 
é uma bijeção de A em A.
Dado o inteiro 
, em notação decimal, consideremos uma permutação 
sobre o conjunto
Representaremos 
por 
. Assim, de uma permutação dos algarismos de N, resulta um inteiro N' que, em notação decimal, se escreve
,
ou seja,
e
Lema 1. 9 é um divisor de 
, para todo natural n.
A demonstração pode ser feita por indução ou observando que 
é um número constituído somente de "noves".
Lema 2. 9 é um divisor de 
, quaisquer que sejam os naturais m e n.
Para provar isto (...)
Teorema. 9 é um divisor de 
, onde N e 
são dados como acima.
A prova é trivial. Observe que
.
Como (...)
Extraído do artigo de Doherty Andrade O nove misterioso, RPM 9 (1986), pp.30-31.
é uma soma de termos da forma 
, com 
; e como, pelo Lema 2, cada 
é um múltiplo de 9, fica claro que