,
Quando escrevemos
,
estamos simplesmente dizendo que há menos elementos em A do que em B. Nada disso parece problemático, mas a questão é como definir essa comparação de "tamanho" para conjuntos em geral, incluindo os infinitos.
Definição. Se A e B são conjuntos, então
se e somente se as duas condições seguintes são satisfeitas:
(i) Existe uma função injetora de A em B;
(ii) Não existe função sobrejetora de A em B.
Esta definição não passa de uma tradução, em linguagem matemática precisa, da idéia de comparação que usamos para conjuntos finitos.
Agora, observe que se 
, existe uma injeção óbvia de A em 
, a saber, a função 
definida por 
. (Verifique este fato.) Conseqüentemente, o Teorema de Cantor (na versão de Russell) se reduz a isto:
(III) Para todo conjunto A, não existe função sobrejetora
.
A prova desta afirmação pode ser encontrada em muitos textos clássicos de Teoria dos Conjuntos, mas aqui vamos reproduzi-la numa forma que, diferentemente das apresentações usuais, realça os teoremas lógicos envolvidos, particularmente a tautologia
,
que é discutida em outro artigo desta seção do site.
Carlos César de Araújo, 25 de julho de 2003