[ 1. Introdução ] [ 2. Versões alternativas ] [ 3. Comparação de cardinais ] [ 4. A heurística da demonstração ] [ 5. A demonstração ] [ 6. Referências ]

2.Versões alternativas

Tal como apresentado na página anterior, o Teorema de Cantor pode ser provado como corolário de resultados básicos da "aritmética transfinita" (como o Teorema de König). Entretanto, não seguiremos esse curso aqui. Na demonstração a ser apresentada, argumentaremos de maneira mais "elementar" e direta, baseada no fato de que todo cardinal é o cardinal de algum conjunto.

Por exemplo, se , então

,

onde é o conjunto das funções de A em . (Veja o artigo Produtos Cartesianos na seção Conceitos Fundamentais da Matemática.) Deste modo, uma outra maneira de enunciar o Teorema de Cantor é a seguinte:

(I) Para todo conjunto , .

Na realidade, foi essencialmente nesta forma que Cantor publicou o seu teorema geral pela primeira vez (1895) — utilizando o seu célebre argumento da diagonal. Uma apresentação deste argumento é feita em outro artigo desta seção do site.

Uma outra versão do Teorema de Cantor é a que resulta do fato de ter o mesmo número de elementos que o conjunto dos subconjuntos de A:

.

(Isto foi dado como exercício no artigo Funções Características, seção Conceitos Fundamentais. Veja também o artigo O conjunto potência.) Logo, o Teorema de Cantor é equivalente a mais esta afirmação:

(II) Para todo conjunto , .

Ao que tudo indica, esta versão do Teorema de Cantor é devida a Bertrand Russell. É esta versão que será provada aqui, mas antes convém lembrarmos rapidamente o que está envolvido na comparação de cardinais.

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Carlos César de Araújo, 25 de julho de 2003