As Raízes Ocultas do Trinômio do Segundo Grau

Quantas raízes possui uma equação da forma ? Duas? No máximo duas? A resposta depende do "domínio da incógnita", para dizer o mínimo. No conjunto dos números reais — o "maior" universo numérico para a maioria das pessoas —, uma tal equação possui no máximo duas soluções, sejam quais forem os valores dos coeficientes nesse universo. Para , todo mundo sabe que o número de raízes depende do discriminante . Por exemplo, a equação terá exatamente duas raízes em se e .

A animação abaixo foi feita com o Winplot. Ela mostra como varia o gráfico de em função dos coeficientes a, b e c.

Na seqüência dos quadros, as abscissas dos pontos amarelo e vermelho indicam as raízes da equação, os lugares onde a parábola toca o eixo x. Assim, não é de surpreender que em certos trechos da animação esses pontos desapareçam. Algebricamente, isso ocorre quando os valores dos coeficientes tornam o discriminante negativo, pois nesse caso a famosa fórmula

não produz número reais — logo não há o que marcar no plano cartesiano.

As raízes invisíveis

Observe, agora, a próxima animação.

É uma réplica da anterior, exceto por um detalhe: os pontos amarelo e vermelho estão sempre presentes. Mas que significado terão esses pontos quando a parábola não toca o eixo dos x? Pelo que sabemos, não podem representar raízes reais. Então, o que serão? Eis a resposta: ainda são as raízes do trinômio, mas agora vistas com lentes mais potentes. Essas lentes nos revelam um universo maior que : o conjunto dos números complexos.

O conjunto é basicamente o mesmo plano cartesiano de antes, só que enriquecido com uma estrutura algébrica diferente. Nesse novo plano complexo, toda equação , com ,  possui raízes, e no máximo duas. Quando não estão no eixo x, isto é, quando desaparecem do "mundo real", as raízes reaparecem nesse "mundo imaginário" como pontos simétricos em relação a esse eixo, conforme se pode notar na última animação. (Isto significa que essas raízes são números complexos conjugados, o que ocorre sempre que os coeficientes da equação sejam reais.)

Experimentando no seu computador

Clique no link abaixo para adquirir o arquivo do Winplot que foi utilizado para mostrar as raízes complexas do trinômio quadrático.

raizes_trinomio.wp2

Para abrir o arquivo no seu computador, é necessário que a última versão do Winplot esteja instalada. (Versões antigas emitirão uma mensagem de erro.) Para maiores informações, visite página do Winplot na seção Softwares (link na coluna direita do site).

Após abrir o arquivo (no ambiente 2D), clique no menu (Animation, ou Animação) para variar os coeficientes do trinômio.

Exercício

No arquivo do Winplot, os coeficientes a, b e c podem ser variados à vontade, desde que a permaneça não-nulo. Para e , o gráfico é o da reta , mas a sua interseção com o eixo x não é assinalada. De fato, as fórmulas para as raízes de , utilizadas no arquivo, são válidas apenas quando , pois provêm da expressão clássica

Esta fórmula ainda pode ser usada para se obter as raízes sob a forma complexa , onde e u, v . Os pontos amarelo e vermelho que acompanham a parábola são precisamente os pares ordenados . Portanto, a feitura do arquivo exigiu o conhecimento de u e v. Descubra expressões para u e v e crie um arquivo que apresente os mesmos resultados.

Dica. Além das funções trigonométricas, o Winplot possui a função , que fornece o argumento do número complexo como um ângulo do intervalo .