Solução (por Carlos César de Araújo)

Montando o cenário

A figura abaixo mostra a situação dos elementos do problema: a circunferência com centro O, o diâmetro , uma corda e seu ponto médio L, etc. É necessária uma leitura cuidadosa para que se possa discernir com clareza quem é quem. Por exemplo, o ponto M  foi colocado à direita de L  porque deve estar mais próximo de B.

O ponto P é a interseção do segmento com o segmento . Claramente, a posição de P fica determinada pela posição da corda . A questão é: se variarmos a posição de , qual será a trajetória descrita pelo ponto P ?

Uma dúvida comum: podemos movimentar como quisermos? A resposta é “não”. A corda não é inteiramente livre, visto que deve permanecer sempre paralela ao diâmetro . A animação abaixo mostra o que acontece quando a corda se desloca paralelamente ao diâmetro.

Observe o movimento do ponto P. Você consegue adivinhar qual é a curva descrita por P ? Será um arco de circunferência? Uma elipse?

Colocando no plano cartesiano

Resolveremos o problema analiticamente: introduziremos um sistema de eixos ortogonais, substituiremos os objetos geométricos por objetos algébricos (números, equações, etc.) e procuraremos encontrar uma equação que seja satisfeita pelas coordenadas de P. Dependendo da forma da equação, é possível prever o seu gráfico, que constitui o lugar geométrico de P. Este é o método da geometria analítica.

Coloquemos o centro O da circunferência na origem dos eixos e tomemos o seu raio como sendo 1. Assim, a base de todo o cenário será a circunferência .

Com isso, o diâmetro torna-se o segmento de a . A corda   ficará contida numa reta horizontal

,

cuja interseção com a circunferência fornece as coordenadas dos extremos e . Um cálculo rápido mostra que

   e   ,

onde (condição que equivale a ). Claramente, o ponto médio de é

.

A equação do lugar

Vejamos como obter uma equação nas coordenadas do ponto P, interseção dos segmentos e . A equação da reta por B e L é

e a reta por O e M é

Se eliminarmos a variável a do sistema de equações

teremos uma equação satisfeita por P. Isto pode ser feito por comparação: eleve ambas as equações ao quadrado, tire o valor de em cada uma e iguale as expressões obtidas. O resultado é

Para , podemos cancelar e obter , ou ainda,

.

Esta é a equação de uma parábola com eixo horizontal. Portanto, o lugar de P é um arco de parábola.

Confirmando com o computador

Clique no botão abaixo para ver uma animação produzida no Winplot.

Exercício 1

Determine (as coordenadas de) o foco e a (equação da) diretriz da parábola acima. (O artigo O Winplot e o trinômio do segundo grau, na seção Laboratórios, contém definições desses termos.)

Exercício 2

Utilize os dados da nossa resolução para reproduzir a segunda animação no Winplot (ou outro software com recursos gráficos).