Demonstração I

Matemática para Gregos & Troianos

No Capítulo XX do CD Números mostramos que o resto © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César da divisão de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César por © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César (© 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César) pode ser expresso por meio da função piso de acordo com a seguinte expressão:

© 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César

Aqui suporemos que © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César são números naturais (elementos de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César) e que © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César.

Reescrevamos (1) na seguinte forma:

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Esta igualdade — que simplesmente traduz a divisão “inexata” de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César por © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César — é a base de todo o processo para a obtenção de uma representação posicional de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César na base © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César. Note-se que em (2) já temos uma expressão polinomial em © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César (de grau no máximo 1) no segundo membro. Por definição, teremos uma representação posicional na base © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César com © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César algarismos somente se chegarmos a um polinômio de grau © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César com coeficientes em © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César.

Partiremos de (2) sem nenhuma hipótese adicional sobre © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César e © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César. O argumento nos conduzirá naturalmente à condição que © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César deve satisfazer para possuir exatamente © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César algarismos na base © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César. Não será necessário exibirmos as divisões em escada, pois cada divisão por © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César resultará de uma aplicação da igualdade (2). Manipularemos um sistema de igualdades visando terminar com uma expressão polinomial apropriada para © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César. Durante o processo, usaremos a seguinte propriedade da função piso (válida para quaisquer © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César e © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César inteiro positivo):

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Iniciando o processo

Iniciamos o processo aplicando (2) à divisão de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César por © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César. Então, por causa de (3),

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Quando levamos essa expressão para © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César na igualdade (2) e desenvolvemos os produtos, descobrimos que

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que também é uma expressão polinomial em © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César — desta vez, de grau © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César. Uma nova aplicação de (2) e (3) nos dá

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que substituída em (4) nos leva a

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Paremos para observar o que fizemos até agora:

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Deve estar claro que se repetirmos o procedimento © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César vezes, teremos algo como

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ou ainda

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Exercício 1

Prove (6) por indução em m.

O ponto de parada

Que valor de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César terminará o processo? Naturalmente, queremos que © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César seja o primeiro (o menor) número © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César tal que

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pois com isso temos pelo menos a certeza de que todos os coeficientes do polinômio (6) ficarão no conjunto © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César. Ora (lembrando que © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César),

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Portanto, © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César será o menor © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César que satisfaz (7) se, e somente se, cumprir as duas condições seguintes:

(A) © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César;
(B) © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César.

(Isso resulta da própria definição de menor. Veja o artigo Teoria da Ordem (Parte II) em Conceitos Fundamentais, neste site.)

De (B) concluímos que © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César. Juntamente com a condição (A), isto nos dá

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que é exatamente a condição que havíamos imposto ao número © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César para que tivesse © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César algarismos na base © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César.

O leitor não terá dificuldade em ver que (8) é equivalente a

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(A propósito, isso foi provado no Capítulo IX do CD Números — link Característica e Mantissa de um Logaritmo.)

Exercício 2

Mostre que se © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César satisfaz as condições (A) e (B) acima, então © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César. Isto garante que (6), como um polinômio em © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César, tem grau © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César. Em termos da divisão em escada mencionada na introdução, isto significa que o último resto (© 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César) é © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César.

O resultado final

Com base em (9) e (6), podemos dizer que

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Eis aí, finalmente, a gloriosa representação posicional de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César na base © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César, numa forma explícita. Podemos ver que o © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César-ésimo algarismo de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César na base © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é

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(contado da esquerda para a direita na disposição tradicional).

Algarismos para todos os números

O que acontece se não tivermos © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César? Ora, segue-se da discussão acima que sempre podemos encontrar um © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César nessas condições. De fato, © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César A partir daí podemos invocar o resultado que acabamos de provar e concluir que © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César possui uma representação posicional na base © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César.

Carlos César de Araújo, 15 de abril de 2006, 16:32:45