Lógica e Matemática
Introdução
Neste artigo enunciaremos um resultado sobre o conjunto Um Fato Óbvio
Um conjunto de números naturais pode não possui um maior elemento, mas tem sempre um menor, um primeiro. Não há como duvidar disso. É um fato que se pode aceitar como óbvio. Não importa se preferimos começar
Observe que ao falarmos em “qualquer Tradução para a o Simbolismo Lógico
Uma formulação mais completa deve mencionar o quantificador “qualquer” que atua sobre Expressão (1)
Por exportação, isto é o mesmo que Expressão (2)
Agora, a sentença “ Expressão (3)
(veja o artigo Teoria da Ordem na seção Conceitos Fundamentais), que por sua vez é equivalente a Expressão (4)
obtida da anterior por contraposição da implicação. Substituindo a expressão (4) na expressão (2), ficamos com a seguinte asserção: Expressão (5)
Tomando a contrapositiva da segunda implicação dessa sentença, o enunciado (1) torna-se Expressão (6)
Dualidade Booleana
As fórmulas “
ser equivalente a
obtida da primeira substituindo (cada ocorrência de)
Desse modo, o dual booleano da sentença (6) é
que é o mesmo que Expressão (7)
O Passo Final
Por fim, eliminamos o sinal
Levando a última expressão na sentença (7), ficamos com o seguinte: Expressão (8)
Um Fato Popular Todas as manipulações que fizemos acima, da sentença (1) à sentença (8), alteram a estrutura sintática das sentenças, mas não sua semântica. Por outras palavras — embora não pareça —, a sentença (8) traduz exatamente o mesmo estado de coisas que o fato óbvio com o qual começamos. Agora, paremos para examinar nossa sentença final. Ela nos diz o seguinte:
(1) Considere um conjunto
Em vez de conjuntos (de números naturais), podemos falar em propriedades. Nesses termos, a expressão (8) incorpora um método para demonstrar afirmações da forma
Esse método de prova é popularmente conhecido como Princípio da Indução Forte ou Segundo Princípio da Indução, para diferenciá-lo da indução matemática em sua forma mais corriqueira (a do “raciocínio de Óbvio, mas não Anônimo
Tendo mantido o suspense até este ponto, podemos revelar agora que o fato óbvio do qual partimos também tem um nome na literatura: Princípio da Boa Ordenação. Na teoria da ordem, dizemos que o “conjunto” Uma Prova Tortuosa
Nos textos “ortodoxos” de matemática, essa equivalência não é explicitamente declarada; a maioria dos autores deriva apenas uma parte da dupla implicação, a saber, que o Segundo Princípio da Indução decorre do Princípio da Boa Ordenação (reforçando nossa opinião de que o primeiro é tomado como menos óbvio) — e isso de maneira indireta, por redução ao absurdo. Resumidamente, o argumento é o seguinte. Assuma que Esse argumento é logicamente impecável, mas é tortuoso. Nossa argumentação, por outro lado, expõe a essência lógica dos enunciados de uma maneira “limpa” e direta, mostrando que o Segundo Princípio da Indução é essencialmente a seguinte variação (do dual booleano) da sentença (2): Expressão (9)
Além disso, talvez torne mais evidente que os passos se aplicam a qualquer conjunto Carlos César de Araújo, 11 de dezembro de 2006, 23:16:07 |