Teoria da Ordem
(Parte 1)
Carlos César de Araújo

Matemática para Gregos & Troianos

Introdução

Inúmeros conceitos matemáticos envolvem uma relação de ordem num conjunto. A divisão de polinômios depende de uma ordenação das variáveis. A matriz de um sistema de equações lineares depende da ordem das incógnitas. Operações básicas como a de formar uma união de conjuntos e calcular um máximo divisor comum, embora tão diferentes entre si, não só dependem de uma relação de ordem em seus respectivos domínios, como são, abstratamente falando, a “mesma” operação — oriunda dessas diferentes ordens. O primeiro dos 23 problemas de Hilbert menciona um fato sobre ordens (que logo depois se provaria ser equivalente ao Axioma da Escolha).

Relações de ordem surgem em incontáveis partes da Matemática, seja “elementar”, “avançada”, “pura” ou “aplicada”, tais como na Álgebra, Topologia, Lógica, Geometria, Física, Lingüística e Teoria da Programação. Vários artigos do Matemática para Gregos & Troianos tratam de assuntos que envolvem relações de ordem. Conseqüentemente, o que se ganha com o estudo geral dessas relações é o mesmo que se lucra com o de qualquer outra estrutura matemática abstrata: economia de raciocínio e clareza conceitual.

Este artigo apresenta a teoria da ordem princialmente como uma referência para outros artigos do site, nos quais aplicamos as definições e teoremas gerais aqui apresentados aos casos particulares de interesse. Por causa disso, a exposição aqui é mais concisa e formal do que de costume. (O artigo O Conceito de Estrutura serve de preparo para o leitor iniciante.) Muitas demonstrações foram deixadas para exame mais detalhado em outras seções do site (particularmente a seção Lógica). Além disso, este artigo estará em permanente expansão: definições e resultados serão inseridos em outras Partes de tempos em tempos, conforme a necessidade imposta por outros artigos.

Observações sobre notação e terminologia

Veremos diversos tipos de relações de ordem, cada um definido por uma lista de propriedades. A maioria dessas propriedades são formas “desencarnadas” das que valem para as familiares relações de desigualdade © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César (© 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é menor ou igual a © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César) e © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César (© 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é menor que © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César) entre números. Na verdade, a teoria da ordem pode ser vista como um estudo puramente axiomático das desigualdades: simplesmente escolhemos certas propriedades e definições que envolvem essas relações, estendemo-las a conjuntos arbitrários e examinamos a força lógica das mesmas em conjunção com outras condições.

Em cada definição ou axioma teremos sempre dois ingredientes básicos: um conjunto © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César e uma relação binária © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César em © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César, isto é, uma relação que só pode vigorar entre dois elemento de cada vez. (Alternativamente, podemos olhar © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César como um conjunto de pares ordenados e dizer que © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César.) O mesmo adjetivo usado para uma ordem © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César também é aplicado à estrutura © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César. Por exemplo, as sentenças “© 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é uma ordem parcial em © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César” e “© 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é um conjunto parcialmente ordenado” são tomadas como sinônimas.

Uma parte substancial dos teoremas (conseqüências dos axiomas e definições) pode ser obtida por manipulação mecânica de conectivos e quantificadores — não passando, portanto, de um puro exercício de Lógica. Visando ressaltar a importância desse fato, usamos livremente símbolos lógicos como © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César (“e”), © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César (“ou”), © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César (“se-então”), © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César (“se e somente se”), © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César (“para todo”) e © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César (“existe”). Para reduzir o comprimento dos enunciados, omitimos a referência ao conjunto © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César na maioria dos quantificadores. Assim, conforme o contexto, uma sentença da forma © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César significará © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César. (Analogamente, sentenças sem quantificadores em definições e teoremas devem ser entendidas como estando precedidas de quantificadores universais para cada variável livre.)

Se © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César, então o fato de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César estar na relação © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César com © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César pode ser expresso por © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César (notação prefixa) ou © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César (notação infixa). Em se tratando de relações de ordem, são comuns duas convenções: uso da notação infixa e dos símbolos tradicionais © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César e © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César para designar ordens em geral. (São também freqüentes o uso de variantes estilísticas de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César, tais como © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César e © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César.) Também usaremos sinais infixos, mas seguiremos uma prática mais recente (e comum entre os cientistas da computação) que consiste em usar os símbolos “quadrados” © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César e © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César como variáveis para ordens. As relações inversas são designadas por © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César e © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César, respectivamente. Lembramos que a inversa (ou oposta) de uma relação © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é a relação © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César que vale entre © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César e © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César se, e somente se, © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César. Assim, por definição, teremos sempre

© 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César

Na teoria da ordem, é útil dispor de maneiras alternativas de expressar em palavras uma afirmação da forma © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César (além da tradicional “© 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César está na relação © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César com © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César”). Citamos abaixo alguns exemplos:

•  © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César-antecessor de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César
•  © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César-subordinado a © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César
•  © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César-sucessor de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César
•  © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César-domina © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César.

Na prática, é muitas vezes possível omitir a referência explícita a © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César sem causar ambigüidades (o que é feito, aliás, em quase toda a literatura).

Outras definições e convenções notacionais (que não são exclusivas das relações de ordem) são:

•  © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César com uma extensão óbvia (usando indução finita) para qualquer número finito de elementos: © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César

•  © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César. Chamamos © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César a relação estrita derivada de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César.

•  © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César, com extensões análogas para um número finito qualquer de elementos.

Uma conseqüência da definição de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é que

© 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César

Este é um exemplo de conseqüência “puramente lógica” de definições (depende apenas da semântica dos sinais lógicos e da relação de igualdade).

Finalmente, às vezes achamos útil usar o símbolo © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César como uma maneira sucinta de declarar que se tem uma igualdade aceita por definição (e não como conseqüência de algum fato prévio).

Pré-ordens

Muitos autores iniciam a teoria da ordem com as pré-ordens, mas rapidamente desenvolvem a maioria das definições (como as de mínimo e supremo) para as ordens parciais (assunto da Parte 2). Contudo, veremos que é útil explorar as pré-ordens ao máximo (!) — até que o esgotamento de resultados interessantes nos force a impor mais restrições.

Um conjunto pré-ordenado é um par © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César, onde © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é uma relação em © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César que é reflexiva e transitiva, isto é, que satisfaz as seguintes condições:

© 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César

Recordamos que uma relação de equivalência em © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é uma relação reflexiva, transitiva e simétrica. Portanto, pré-ordens são uma generalização das relações de equivalência. Uma propriedade que muito facilita o estudo das ordens é a anti-simetria, isto é, o fato de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César sempre implicar © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César. Ela vale (por definição) para as ordens parciais que mencionamos há pouco. Contudo, muitas pré-ordens interessantes não são anti-simétricas, como é o caso da relação © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César (© 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César divide © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César) num anel comutativo (sobre a qual falaremos em outro artigo). Mas ainda que a relação © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César não seja necessariamente a igualdade, tem em comum com ela o fato de ser uma relação de equivalência, conforme veremos agora.

Definição. © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César.

Teorema 1. Se © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é uma pré-ordem em © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César, então © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é uma relação de equivalência em © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César.

Demonstração.

A relação estrita © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César derivada de uma pré-ordem © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César jamais é uma pré-ordem, pois não é reflexiva. Mas pode ser transitiva, se bem que não necessariamente. É fácil ver que de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César podemos concluir que © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César e © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César; mas como a relação © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César não é transitiva, não podemos asserir que © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César e © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César. Contra-exemplos concretos serão vistos em outra parte.

Dualidade

Veremos que várias proposições sobre uma pré-ordem © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César valem também para a relação inversa © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César. O teorema abaixo mostra que a inversa de uma pré-ordem também é uma pré-ordem.

Teorema 2. © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é uma pré-ordem em © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César se, e somente se, © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é uma pré-ordem em © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César.

Realmente, dada uma relação (binária) © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César, é fácil ver que © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é reflexiva se, e somente se, © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é reflexiva. Do mesmo modo, as sentenças “© 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é transitiva” e “© 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é transitiva” são sinônimas. (Veja as provas na seção Lógica.) O Teorema 2 simplesmente exprime esses dois fatos numa outra terminologia.

Seja © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César uma afirmação qualquer (definição ou teorema) envolvendo uma pré-ordem © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César num conjunto © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César. A proposição dual de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é a proposição © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César que se obtém de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César substituindo a relação © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César pela sua inversa © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César. Em particular, o dual de um conceito definido em © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é o conceito correspondente definido em © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César. Isso será esclarecido adiante.

Decorre do Teorema 2 que se © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é conseqüência lógica das condições (O1) e (O2), então © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César também o é. Desse modo, se num teorema válido para conjuntos pré-ordenados trocarmos cada conceito pelo seu dual, o resultado é ainda um teorema válido para conjuntos pré-ordenados. É evidente a importância prática desse resultado: cada teorema automaticamente nos presenteia com o seu dual.

Exemplos

Por ora, mencionaremos rapidamente apenas três exemplos simples de pré-ordem. O exemplo dos anéis será explorado detalhadamente em outro lugar.

Os conjuntos numéricos fundamentais © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César, © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César, © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César e © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César são pré-ordenados pela relação © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César (menor ou igual a).

Qualquer coleção © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César de conjuntos é pré-ordenada pela relação de inclusão, aqui denotada por © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César. Ou seja, © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César, com © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César, é um conjunto pré-ordenado. Lembramos que a relação © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César entre conjuntos é definida por

© 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César

Há autores que denotam a inclusão por © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César, deixando o símbolo © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César para a relação estrita (isto é, © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César). Esse esquema tem as suas vantagens, mas não o adotaremos neste artigo.

Finalmente, qualquer anel com unidade © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é pré-ordenado pela relação © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César (lê-se “© 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César divide © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César”), definida por © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César. (A existência de unidade garante a reflexividade; e a transitividade decorre da associatividade da multiplicação do anel.)

Intervalos

Dados uma pré-ordem © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César em © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César e um elemento © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César, o conjunto dos sucessores de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César

© 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César

(que é a imagem de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César pela relação © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César) é um exemplo de intervalo em © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César. Mostramos abaixo algumas notações para esse intervalo que se encontram na literatura:

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Note-se que o intervalo depende da relação © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César, embora isso não seja ressaltado por nenhuma dessas notações. Neste artigo usaremos a primeira notação. Quando quisermos tornar explícita a relação © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César, escreveremos

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Por dualidade (isto é, aplicando essa definição à pré-ordem inversa), obtemos o intervalo “à direita”

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ou seja,

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Outras espécies de intervalo em © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César são definidas abaixo:

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(Usamos essas notações clássicas como uma concessão à tradição. Por ora, os sinais “© 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César” e “© 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César” não passam de meras decorações notacionais.)

É fácil e instrutivo formular os axiomas de pré-ordem em termos de intervalos. Temos (onde deixamos implícita a referência a © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César):

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A condição de transitividade (O2) também pode ser escrita em termos de intervalos “à direita”:

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Teorema 3. Se © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é uma pré-ordem em © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César, então

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Corolário. Se © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é uma pré-ordem em © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César, então

© 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César

Com as formulações dos axiomas em termos de intervalos, tanto o Teorema 3 como o seu corolário tornam-se evidentes. O corolário resulta da anti-simetria da inclusão (se © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César e © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César, então © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César), e deixa mais claro porque a relação © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é de equivalência (Teorema 1).

Majorantes e Minorantes

Doravante, até o final deste artigo, fixaremos um conjunto pré-ordenado © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César e um conjunto © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César.

Diz-se que © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é um majorante de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César quando satisfaz uma qualquer das seguintes condições equivalentes:

© 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César

Ou seja, um majorante de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é um elemento que domina todos os elementos de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César.

Não há uma notação padrão para o conjunto dos majorantes de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César, mas a última condição acima mostra que podemos exprimi-lo como uma interseção de intervalos “à esquerda”. Se o denotarmos por © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César (sem referência à pré-ordem usada), então teremos a igualdade

© 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César

O dual de “majorante” é minorante. Assim, definimos um minorante de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César (com respeito a © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César) como um © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César que é majorante de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César sob a pré-ordem oposta. Qualquer uma das cinco sentenças abaixo traduz essa condição:

© 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César

Portanto, se denotarmos o conjunto dos minorantes de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César por © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César, então

© 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César

(Se insistíssemos em usar notações ultraprecisas, teríamos dito que  © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César.)

Outra formulação da definição de majorante é a que decorre da equivalência (provada na seção Lógica)

© 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César

(Em palavras: © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César está contido em todo conjunto de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César se, e só se, © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César está contido na interseção desses conjuntos. Voltaremos a esse fato na Parte 2.) Isso posto, retomemos a definição de “© 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César”: © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César Após usarmos intervalos como no Teorema 3, obtemos as seguintes condições equivalentes à de majorante de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César:

© 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César

Analogamente, cada uma das duas condições abaixo diz o mesmo que “© 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é minorante de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César”:

© 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César

Como exercício, deixamos para o leitor verificar que

© 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César

Maxímos e Mínimos

Dando prosseguimento à discussão anterior, dizemos que © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é um máximo de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César quando é um elemento de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César que é também majorante de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César. Assim, a condição de máximo é a conjunção das duas seguintes:

© 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César;
© 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é majorante de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César: © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César.

Dualmente, dizemos que © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é um mínimo de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César quando

© 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César;
© 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é minorante de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César: © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César.

Portanto, o conjunto dos máximos de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é

© 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César

e o conjunto dos mínimos de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é

© 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César

Na ausência de condições adicionais sobre a pré-ordem © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César, é impossível concluir que dois elementos máximos (ou mínimos) são iguais. A relação mais geral entre dois elementos máximos é a seguinte:

Teorema 4. © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César.

A comprovação é imediata, valendo o mesmo para mínimos (por dualidade).

Supremos e Ínfimos

Das definições anteriores vê-se facilmente o seguinte: se © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é majorante de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César e © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César, então © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César também é majorante de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César. Ou seja, “acima” de um majorante temos mais majorantes. Assim, torna-se interessante examinar majorantes que sejam mínimos. Isto nos leva à importante noção de “supremo”. Dualizando a discussão, teremos o conceito de “ínfimo”.

Diz-se que © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é um supremo de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César quando são verdadeiras as duas afirmações seguintes:

(1) © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é um majorante de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César;
(2) © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é um minorante dos majorantes de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César.

Ou seja, se designarmos o conjunto dos supremos de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César por © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César, então, por definição,

© 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César

O teorema seguinte nos dá uma caracterização do supremo que será de enorme importância.

Teorema 5. © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César

Demonstração.

Corolário. © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César.

Conforme antecipamos, o dual de “supremo” é “ínfimo”. Contudo, é pedagogicamente mais útil definir “ínfimo” separadamente e depois provar a dualidade. Assim, dizemos que © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é um ínfimo de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César quando:

(1) © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é um minorante de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César;
(2) © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César é um majorante dos minorantes de © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César.

Escrevamos © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César para o conjunto dos ínfimos. Então, a definição de ínfimo assume o seguinte aspecto:

© 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César

Temos, agora, a esperada dualidade (com o devido destaque para a relação © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César):

Teorema 6. © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César.

Demonstração.

Corolário. © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César.

Demonstração.

Teorema 7. © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César.

Demonstração.

Corolário. © 2002-2006, Matemática para Gregos & Troianos - Carlos César.

Continua.

Bibliografia

Carlos César de Araújo, 18 de novembro de 2006, 15:36:55